一元函数积分学

我可以0成本cos舅舅，有舅妈吗

不定积分

两个基本概念

1. 原函数

2. 不定积分

原函数的存在性

什么条件下才有原函数

基本性质

积分公式

积分方法

1. 一类换元，凑微分，封装，$t=\phi(x)$
2. 二类换元，解封装，$x=\phi(t)$
3. 分部积分

常见可积积分类型

有理数积分

就是多项式加减乘除多项式

1. 部分分式法，把分母拆开，待定系数求解
2. 聪明观察法（误），加项减项拆项凑微分降幂

三角函数

1. 万能公式
2. $\mathrm{d}\tan{x},\mathrm{d}\sin{x},\mathrm{d}\cos{x}$怎么凑
3. 简单无理数，根号里面一阶除一阶，这样换元后$x$不会有根号的$t$出现

题型一 不定积分计算

不会很难很难

题型二 不定积分变样

定积分

概念

1. 分
2. 匀
3. 和
4. 精

定积分号其实是极限&求和

几何意义

面积，注意积分号的上下限。

可积性

必要条件

1条

充分条件

3种

计算

1. 牛顿-莱布尼兹公式，定积分计算转换为找原函数
2. 换元法，（第二类），记得改上下限
3. 分部积分
4. 奇偶性，周期性
5. 常用公式

变上限积分

感觉这个很重要！！！写详细点

怎样的变上限积分在闭区间可导？（闭区间上连续），导出来是什么，变上限积分是个关于$x$的函数。

变上限积分求导，

$F(x)=\int^a_b{f(x)}\mathrm{d}x$

1. 连续性，$f$在$[a,b]$上可积（怎么可积？），则$\int^a_b{f(x)}\mathrm{d}x$在$[a,b]$上连续

2. 可导性，有连续，可去，跳跃的间断点的$f$的变上限积分的能导吗，连续吗，导函数连续吗

3. 奇偶性，$f$的奇偶和$F$奇偶的关系，注意，$f$为偶$F$为奇函数，但假如下限变了就不是了，但是如果是奇的话就没事

性质

1. 不等式，里面大积分大，“最值定理”，绝对值不等式

2. 积分中值定理，广义、侠义

题型一 定积分的概念，性质，几何意义

利用概念（可爱因子），性质（比大小，夹逼）求极限

几何看面积，注意正负和积分上下限

题型二 定积分计算（重点）

题型三 变上限积分（重点）

题型四 积分不等式（难点）

1. 变量代换，换元
2. 积分中值定理
3. 变上限积分，$f$单调时好用
4. 柯西，外面方放到里面

反常积分

无穷区间和无界函数

1. 敛散性的判断，P积分怎么用，两种P积分的不同。
2. 发散+发散=存在，但是整个还是发散
3. 比较审敛法（不太好用），比较审敛法的极限形式

题型一 反常积分敛散性（难点）

题型二 反常积分计算

定积分应用

几何应用

1. 面积
2. 体积
3. 弧长
4. 表（侧）面积

物理应用

1. 压强$p=\frac{F}{S}=\frac{G}{S}=\frac{mg}{S}=\frac{\rho Vg}{S}=\frac{\rho S_0hg}{S}=\rho gh$，压力$P=pS$，
2. 做功$W=Fl$
3. 引力

题型一 几何应用（重点）

题型二 物理应用