一元函数微分学

导数与微分

导数和微分的概念

导数是变化率，微分是变化的近似值

这里题目会比较难

1. 利用导数定义求极限
2. 利用导数定义求导数
3. 利用倒数定义判断可导性

导数和微分的几何意义

斜率，增量

题目还行

连续、可导、可微的关系

$f(x)可导\to f(x)连续$，$f(x)可导\nrightarrow f'(x)$连续，$f(x)可导\nrightarrow lim_{x\to x_0}存在$

求导公式和法则

1. 有理运算法则
2. 复合函数求导
3. 隐函数求导
4. 反函数求导
5. 参数方程求导
6. 对数求导法
7. 高阶导数

题型一 导数和微分的概念（重难点）

题型二 导数的几何意义

题型三 导数和微分的计算（重点）

导数应用

微分中值定理

1. 罗尔定理
2. 拉格朗日中值定理
3. 柯西定理
4. 泰勒定理（拉格朗日余项，全局）

极值和最值

1. 极值概念（极大/小值点，极大/小值），驻点和导数不存在的点，必要条件，一二三充分条件
2. 最值

曲线的凹向和拐点

1. 什么是凹凸
2. 拐点概念，必要条件，一二三充分条件，对照极值点

曲线的渐近线

1. 水平
2. 垂直
3. 斜，怎么快！

在一侧水平和斜不能共存。

曲率

别记错！

$K=\lim_{\Delta{x}\to{0}} \vert\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}\vert=\frac{\vert y''\vert}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{\vert y''x'-y'x''' \vert}{(x'^2+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$

曲率半径$R=\frac{1}{K}$

题型一 函数的单调性、极值和最值

显函数、隐函数、抽象函数、微分方程

题型二 曲线的凹向、拐点、渐近线和曲率

题型三 方程根的存在性和个数

存在性，零点、罗尔

个数，单调性、罗尔推论

题型四 证明函数不等式

1. 单调性
2. 最大最小值
3. 拉格朗日中值定理
4. 泰勒公式
5. 凹凸性

题型五 微分中值定理证明题（重难点）

1. 一个中值点，分析法（找原函数），微分方程法（解出$H(x,y)=C$构造$g(x)=H(x,f(x))$），规律法
2. 两个中值点，没有限定不同，分开拉或柯；限定不同，分区间拉
3. 一个中值点，高阶，泰勒，$x_0$选取信息多的点！