多元函数积分学

对这一章比较不熟悉

高数强化课终于上完了

三重积分与线面积分

三重积分

定义

性质

不均匀体积质量

计算

1. 直角坐标，先一后二、先二后一
2. 柱坐标
3. 球坐标
4. 奇偶性
5. 变量对称性

对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）

定义

性质

与方向无关

非密度均匀的线状质量

计算

平面

1. 直接法，$ds$的三种表达方式，参数方程式、一般式、极坐标形式带入计算
2. 奇偶性
3. 变量对称性

空间

1. 参数方程形式带入

对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）

定义

性质

方向相反值差符号

做功

计算

平面

1. 直接法，参数方程带入
2. 格林公式，封闭曲线，正向为边界
3. 补线用格林
4. 线积分与路径无关，判定条件（PQ在单连通区域上有连续的一阶偏导数、四个等价形式），计算方法（改换路径、找原函数）

空间

1. 直接法，参数方程带入
2. 斯托克斯公式，两种形式平面行列式好用
3. 平面带入，转换计算

两类线积分的联系

第二类（PQ）等于第一类（PQ）乘上方向余弦

对面积的曲面积分（第一类曲面积分）

定义

性质

方向与结果无关

非密度均匀曲面质量

计算

1. 直接法，投影到一个面，$dS=...$，把曲面积分转换为二重积分
2. 奇偶性
3. 变量对称性s

对坐标的曲面积分

定义

性质

曲面积分方向有关

通量

计算

1. 直接法，投影（法向量上侧、前侧、右侧为正），转换为二重积分
2. 高斯公式，有向闭曲面（PQR一阶连续偏导数），转换为三重积分；

两类曲面积分的联系

第二类（PQR）等于第一类（PQR）乘上方向余弦；

题型一 计算三重积分

题型二 计算对弧长的线积分

题型三 计算对坐标的线积分（重点）

题型四 计算对面积的面积分

提醒五 计算对坐标的面积分（重点）

多元积分学的应用

1. 几何体分类，平面域（二重积分）、空间体（三重积分）、曲线段（一类曲线）、曲面片（一类曲面）
2. 所求量分类，几何度量（面积体积弧长面积）、质量、质心（不均匀）、形心（均匀）、转动惯量（对$x$轴转动放$y^2$或$y^2+z^2$）
3. 变力做功（二类曲线）
4. 通量（二类曲面)

题型一 求几何量

题型二 计算物理量

场论初步

1. 梯度$grad$，向量
2. 散度$div$，值
3. 旋度$rot$，值，行列式计算

题型 梯度、散度、旋度计算