向量代数与空间解析几何及多元微分学在几何上的应用

真长啊这名字

向量代数

1. 几何表示
2. 代数表示
3. 运算规律
4. 几何应用

数量积

向量积

混合积

题型一 向量运算

可以用行列式的方法

题型二 向量运算的应用及向量的位置关系

判断平行垂直什么的

空间平面和直线

平面方程

1. 一般式
2. 点法式
3. 截距式

直线方程

1. 一般式
2. 对称式
3. 参数式

平面与直线的位置关系

平面之间的夹角是平面法向量间的夹角的小的；

直线之间的夹角是直线方向向量的夹角的小的；

直线和平面的夹角是$\frac{\pi}{2}$减去直线的方向向量和平面的法向量的小的角

1. 平行
2. 垂直
3. 夹角

点到面的距离

点到直线的距离

直线到直线的距离

1. 相交直线，即两条直线有且仅有一个公共点。
2. 平行直线，是两条直线在同一平面内,没有公共点。
3. 异面直线，不同在任何平面的两条直线叫异面直线。

异面直线间的距离是两个直线所处的两个平行的面之间的距离；计算则是以平行六面体（两个方向向量和两直线任意两点组成的一个向量）的体积除以底面积（两个方向向量）得出，类似于点到直线的距离算法；

题型一 建立直线方程

题型二 建立平面方程

题型三 与平面和直线位置关系有关的问题

曲面和空间曲线

曲线方程

1. 一般式

空间曲线

1. 参数式
2. 一般式

常见曲面

1. 旋转面
2. 柱面，母线（平行的定直线）、准线（沿着的轨迹）
3. 二次曲面，圆锥面、椭球面、球面、旋转抛物面

题型一 建立柱面方程

确定平行于母线的方程，联立准线；

题型二 建立旋转面方程

什么不变！

题型三 求空间曲线的投影曲线方程

在方程组里，投影到一个面（坐标轴的面）上，有一个参数用不到了，消去它（它=其他，带入另一个方程）

后面的积分运算要用到；

多元微分在几何上的应用

曲面的切平面和法线

曲面方程各个偏导组成的向量为法向量

曲线的切线和发平面

曲线方程各个偏导组成的向量为切向量；方程组表示的曲线就要用叉乘

题型一 建立曲面的切平面和法线方程

题型二 建立空间曲线的切线和法平面方程

方向导数和梯度

方向导数

注意定义，是一个单侧极限！

可以使用偏导数乘方向余弦计算的前提是可微！

梯度

是一个向量，方向导数最大的方向；也就是两个“偏导向量”相加；

题型 方向导数和梯度的计算